Proposiciones lógicas matemáticas

Proposiciones lógicas:

La estrecha relación existente entre la matemática moderna y la lógica formal es una de sus características fundamentales. La lógica aristotélica era insuficiente para la creación matemática ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”.

Proposiciones:

En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

 Proposición:

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo:

 Las siguientes afirmaciones son proposiciones:

(a) Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.

(b) 6 es un número primo.

(c) 3+2=6

(d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es.

Nota: Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . . . . . La notación p : Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”.

Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Ejemplo:

Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y > 5

(b) ¿Te vas?

(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.

(d) x = 2

Solución:

En efecto, es una afirmación pero no es una proposición ya que sería verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d).  Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones.

Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

Proposiciones y operaciones lógicas:

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica por qué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. 

Ejemplo:

p:         La tierra es plana.

q:         -17 + 38 = 21

r:          x > y-9

s:         El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t:          Hola ¿como estas?

w:         Lava el coche por favor.

•      Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas.

• El  inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento.

•       La proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll.

•       Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas:

Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador ^ (y):

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es:  un punto (.), un paréntesis(). Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo:

            Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”.

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

           Realizamos las formalizaciones de dichas proposiciones utilizando los operadores lógico que observamos en la siguiente imagen:

Aquí demostramos como formalizamos el ejemplo dado anteriormente:

p   ↔  q  ^ r